El juego de la vida de Conway – Nuevos desafíos

Publicado: julio 31, 2013 en Hágalo Ud. mismo, Matemática Recreativa
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Hace algo más de un año publiqué un primer artículo sobre el Juego de la Vida de Conway.

A continuación pueden ver de qué se trata el juego y cuáles son sus reglas.

El juego de la vida es el mejor ejemplo de un autómata celular, diseñado por el matemático británico John Horton Conway en 1970.

El juego de la vida es en realidad un juego de cero jugadores, lo que quiere decir que su evolución está determinada por el estado inicial y no necesita ninguna entrada de datos posterior. El “tablero de juego” es una malla formada por cuadrados (“células”) que se extiende por el infinito en todas las direcciones. Cada célula tiene 8 células vecinas, que son las que están próximas a ella, incluso en las diagonales. Las células tienen dos estados: están “vivas” o “muertas” (o “encendidas” y “apagadas”). El estado de la malla evoluciona a lo largo de unidades de tiempo discretas (se podría decir que por turnos). El estado de todas las células se tiene en cuenta para calcular el estado de las mismas al turno siguiente. Todas las células se actualizan simultáneamente.

Las transiciones dependen del número de células vecinas vivas:

  • Una célula muerta con exactamente 3 células vecinas vivas “nace” (al turno siguiente estará viva).
  • Una célula viva con 2 ó 3 células vecinas vivas sigue viva, en otro caso muere o permanece muerta (por “soledad” o “superpoblación”).

Configuraciones estables

Los patrones estables o estáticos son aquellos que, una vez que aparecen, se quedan para siempre. Diríamos entonces que son inmortales.

Hay varios desafíos interesantes respecto de los patrones estáticos.

El primer desafío es encontrar patrones estables de una cantidad determinada de células.

Game of life block with border.svg              Game of life beehive.svg              Game of life loaf.svg          Game of life boat.svg

Bloque                           Colmena                                Pan                             Bote

Surge entonces la pregunta, ¿qué otros patrones estáticos podemos construir? ¿Hay algún límite para el tamaño de un patrón estático?

Quizás quieran pensar un poco sobre estas preguntas, ya que las respuestas a las mismas se encuentran más abajo.

Incluyo varios patrones estáticos que Uds. mismos pueden probar e intentar modificar:

1. Un bloque… dos bloques… cuatro bloques

2. Bloques estáticos de cuatro, de seis, de ocho

3. Tuberías

Obviamente, de los ejemplos se desprende que no hay límite para el tamaño de un patrón estable.

Se puede tomar una de las “tuberías”, por ejemplo, y extenderla en forma indefinida como se muestra en el ejemplo 3. O colocar un sinnúmero de bloques, o colmenas, a suficiente distancia como para que no se perturben.

Se suele hacer distinción entre patrones estables y semiestables. Un patrón estable necesita de todas sus células para mantenerse como tal, uno semi estable, permite que se borren algunos de sus componentes y seguirá siendo estable. Por ejemplo, los patrones de bloques de diversos tamaños presentados más arriba, en el ejemplo 2.

Inmediatamente surge otra pregunta:

¿Cuál es la máxima cantidad de celdas que pueden “pintarse” en tablero de juego de un tamaño determinado generando un patrón estático?

Aquí podran ver dos soluciones:

Rectángulo de 8×8

Rectángulo de 9×9

Para mi modo de ver la solución de 9×9 es realmente interesante, posee simetría bilateral y no es una solución trivial como la de 8×8.

Este problema, el de maximizar patrones estáticos, ha sido analizado por  Chu and Stuckey,  encontrando soluciones óptimas para tamaños de hasta 69*69 en el año 2009

Un uso divertido de los patrones estáticos es como freno o absorbente de alguno de los patrones viajeros. En el artículo anterior que publiqué sobre el juego de la Vida de Conway, aparece el Transbordador que es un ejemplo de este tipo de aplicación.

Según la Wikipedia, este bloque estable, llamado “el anzuelo”, puede “digerir” todo tipo de naves. ¿Quieren probarlo?

A continuación presento tres intentos míos de choques de naves y planeadores con elementos estáticos:

Parece una pared bien gruesa. ¿Resistirá?

Probando el anzuelo

Choque y reacción en cadena

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